1.- Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6   formar un número natural de seis cifras distintas  abcdef  tal que el número de dos cifras ab  sea múltiplo de 2, el número de tres cifras abc  sea múltiplo de 3, el número de cuatro cifras  abcd sea múltiplo de 4, el número de cinco cifras abcde sea múltiplo de 5, y el número de seis cifras abcdef sea múltiplo de 6.

Rta.:

Dado que todos los múltiplos de 5 terminan en 0 o en 5, entonces necesariamente e es el dígito 5 (porque no está el 0). A su vez, dado que ab debe ser divisible por 2, entonces b es uno de los 3 dígitos pares. De igual manera, dado que abcd debe ser múltiplo de 4, entonces d también es uno de los dígitos pares, al igual que f (porque abcdef debe ser múltiplo de 6). Por otro lado,a y c deben ser los otros dos dígitos impares. En resumen: 

e = 5  

a  y c son, en algún orden= 1 y 3

b, d,  y f son, en algún orden= 2, 4 y 6

Dado que abc debe ser múltiplo de 3, entonces la suma de sus dígitos también a + c = 4, si b fuera 6, entonces  a + b + c = 10, que no es múltiplo de 3. Lo mismo pasa si b fuera 4. Por lo tanto se concluye que b = 2, y a + b + c = 6.

Para que abcd sea múltiplo de 4, sus dos últimos dígitos deben serlo. En caso que c sea 1, entonces hay dos casos: 14 y 16. Lo cumple el 16. En caso que c sea 3, hay dos casos 34 y 36. Lo cumple el 36, en las dos oportunidades, se cumplió cuando d vale 6, por lo tanto d=6, a partir de esto f=4 y ya está solucionado el problema. Las dos únicas posibilidades son:

-123654
-321654

Es decir cuando c vale 1 o 3, alternando con a.